Группа это множество на котором определена бинарная операция т.е. каждым двум
элементам ставится в соответствие элемент того же множества.
f(a,b)->c ; a,b,c<M кратко записывается так: a*b=c
и выполнены аксиомы:
1)ассоциативность : a*(b*c)=(a*b)*c
2)существует нейтральный элемент e
т.е. для любого a<M e*a=a*e=a
3)для любого элемента существует нейтрализующий элемент
т.е. для любого a<M существует a^-1 такой что a*a^-1=a^-1*a=e
(иногда нейтральный элемент обозначают 0 и нейтрализующий элемент обозначают -a)
Причем в общем случае коммутативность (перестановочность) не требуется.
Примеры групп:
(Q ,*)-рациональные числа с операцией умножения (нейтр.эл.=1 ; нейтрализ.эл.=1/а)
(Z ,+)-целые числа с операцией сложения (нейтр.эл.=0 ; нейтрализ.эл.=-а)
S(N) - група перестановок порядка N.
Есть также структуры с двумя операциями связанные законом дистрибутивности(кольца, поля, алгебры).
дистрибутивность это аксиома выноса за скобки
a*(b+c)=a*b+a*c и (b+c)*a=b*a+c*a для любых a,b,c<M
Например:
(R,+,*) - поле действительных чисел.
(С,+,*) - поле комплексных чисел.
F(p^n) - конечное поле классов вычетов по простому модулю.
Например, F(3) состоит из элементов {0,1,2} 2*2=1; 2+2=1; 2+1=0; и т.д.
Классы определяются так: всё множество целых чисел делится на классы вычетов, т.е. к одному классу относятся все числа дающие при делении в остатке одно и то же число, например 4 mod 3=1 поэтому 2*2=1, 5 mod 3=2 и т.д. причем все аксиомы поля выполняются.
Многочлены образуют кольцо, так как не для всех многочленов найдется нейтрализующий(обратный), что требуется аксиомами поля.
цитата: |
Я знаю, что она вроде бы применяется при доказательстве того, что для многочленов степени выше 4й в общем виде не существует решения в радикалах. Но книжку про эту проблему [она так и разделена на две части - "Теорема Абеля" и "Теория групп"] читала очень давно и про теорию эту почти ничего, увы, не помню... |
|
Кстати, я писал курсовую по разрешимости уравнений в радикалах, это теория Галуа.
По-моему самая понятная книга по этой теме: "Теория Галуа. Постников М.М."