Отправлено: 13.08.07 03:40. Заголовок: Ваша любимая теорема по геометрии и её доказательство

Мне больше всего нравится теорема про среднюю линюю треугольника, поскольку это первая доказанная мной самостоятельно теорема.
Доказательство опишу своими словами. Для тех, кто не знает: средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины его сторон.

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна его основанию и равна половине основания.
Доказательство: Пусть DE - средняя линия треугольника ABC.

           В 
          /\ 
         /  \ 
      D ------ E  
       /      \ 
    А /________\ C 

Докажем, что треугольники ABC и DBE подобны.
Угол В - общий для обоих рассматриваемых треугольников. DB = 0,5 AB; EB = 0,5 BC.
Следовательно, мы имеем подобие по двум сторонам и углу с коэффициентом 0,5.
Отсюда следует, что сторона DE равна соответствующей ей стороне АС, умноженной на к. подобия, т.е. DE = 0,5*AC.
Также отсюда следует, что угол BDE равен углу A; следовательно, AC || DE.

Теорема доказана.

 Отправлено: 14.08.07 12:59. Заголовок: Re:

В шахматах кое-что смыслю, но в математике - полный дуб

 Отправлено: 21.10.07 12:42. Заголовок: Re:

Почему теоремы только по геометрии?

Вот моя любимая теорема Лагранжа:

Гомоморфный образ группы изоморфен её факторгруппе по ядру гомоморфизма.

 Отправлено: 21.10.07 12:46. Заголовок: Re:

Формулировка теоремы перенасыщена специализированными терминами теории групп

 Отправлено: 21.10.07 12:56. Заголовок: Re:

Эту теорему в учебнике Фаддева так и назвали "Пугало для новичков"

 Отправлено: 21.10.07 13:03. Заголовок: Re:

Поэтому она и нравится вам?

 Отправлено: 21.10.07 13:11. Заголовок: Re:

Девушка в чёрном пишет:

цитата:

Поэтому она и нравится вам?

Не только поэтому, это действительно довольно простая и основополагающая теорема теории групп. А уж где только теория групп не применяется...

 Отправлено: 21.10.07 13:19. Заголовок: Re:

Я знаю, что она вроде бы применяется при доказательстве того, что для многочленов степени выше 4й в общем виде не существует решения в радикалах. Но книжку про эту проблему [она так и разделена на две части - "Теорема Абеля" и "Теория групп"] читала очень давно и про теорию эту почти ничего, увы, не помню...

 Отправлено: 21.10.07 13:56. Заголовок: Re:

Группа это множество на котором определена бинарная операция т.е. каждым двум
элементам ставится в соответствие элемент того же множества.
f(a,b)->c ; a,b,c<M кратко записывается так: a*b=c
и выполнены аксиомы:
1)ассоциативность : a*(b*c)=(a*b)*c
2)существует нейтральный элемент e
т.е. для любого a<M e*a=a*e=a
3)для любого элемента существует нейтрализующий элемент
т.е. для любого a<M существует a^-1 такой что a*a^-1=a^-1*a=e
(иногда нейтральный элемент обозначают 0 и нейтрализующий элемент обозначают -a)
Причем в общем случае коммутативность (перестановочность) не требуется.

Примеры групп:
(Q ,*)-рациональные числа с операцией умножения (нейтр.эл.=1 ; нейтрализ.эл.=1/а)
(Z ,+)-целые числа с операцией сложения (нейтр.эл.=0 ; нейтрализ.эл.=-а)
S(N) - група перестановок порядка N.

Есть также структуры с двумя операциями связанные законом дистрибутивности(кольца, поля, алгебры).
дистрибутивность это аксиома выноса за скобки
a*(b+c)=a*b+a*c и (b+c)*a=b*a+c*a для любых a,b,c<M

Например:
(R,+,*) - поле действительных чисел.
(С,+,*) - поле комплексных чисел.

F(p^n) - конечное поле классов вычетов по простому модулю.
Например, F(3) состоит из элементов {0,1,2} 2*2=1; 2+2=1; 2+1=0; и т.д.
Классы определяются так: всё множество целых чисел делится на классы вычетов, т.е. к одному классу относятся все числа дающие при делении в остатке одно и то же число, например 4 mod 3=1 поэтому 2*2=1, 5 mod 3=2 и т.д. причем все аксиомы поля выполняются.

Многочлены образуют кольцо, так как не для всех многочленов найдется нейтрализующий(обратный), что требуется аксиомами поля.

цитата:

Я знаю, что она вроде бы применяется при доказательстве того, что для многочленов степени выше 4й в общем виде не существует решения в радикалах. Но книжку про эту проблему [она так и разделена на две части - "Теорема Абеля" и "Теория групп"] читала очень давно и про теорию эту почти ничего, увы, не помню...

Кстати, я писал курсовую по разрешимости уравнений в радикалах, это теория Галуа.
По-моему самая понятная книга по этой теме: "Теория Галуа. Постников М.М."

 Отправлено: 21.10.07 14:41. Заголовок: Re:

Спасибо за обстоятельный ответ
Постараюсь разобраться...