Форум Ферзехода

Вот ещё - с форума http://fizmat.info/forum/index.php , из старых номеров "Кванта":

1251. Если между цифрами двузначного числа вписать нуль, то полученное трехзначное число будет в 9 раз больше первоначального. Найти двузначное число.

1252. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой и третья — с шестой. Доказать, что это число делится на 7, 11 и 13.

1254. К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы число делилось на 45.

1259. Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть простым числом? А сумма трех?

1260. Ученики А, В и С состязались в беге на 100 м. Когда А добежал до конца, В отставал от него на 10 м. Когда В добежал до конца, С отставал от него на 10 м. На сколько метров отставал С от А, когда А закончил бег?

1262. Покажите, что любую сумму денег можно уплатить, если продавец и покупатель имеют лишь трехкопеечные и пятикопеечные монеты.

1265. Отец поручил сыну измерить длину двора шагами. Это было зимой. Для проверки отец измерил ту же длину двора своими шагами. Отец шагал с того же места, что и сын, и шел в том же направлении, так что в некоторых случаях следы отца и сына совпадали. Всего следов на снегу получилось 61. Чему равна длина двора, если шаг сына 0,54 м, а шаг отца 0,72 м?

1267. Докажите теоремы:
1) Если произведение трёх целых чисел — число нечетное, то и их сумма — число нечетное;
2) Если сумма двух целых чисел — число нечетное, то их произведение — число четное.