Отправлено: 12.08.07 12:37. Заголовок: Задачи, которые вы сами придумали

Здесь можно писать задачи по математике и физике, которые вы сами придумали.

 Отправлено: 12.08.07 12:50. Заголовок: ЗАДАЧА, КОТОРУЮ Я ПРИДУМАЛА, ОДНАЖДЫ ВОЗВРАЩАЯСЬ ДОМОЙ

Условие.
Когда я прихожу с улицы к своему подъезду, то для того, чтобы мне открыли подъездную дверь [оснащённую электромагнитным замком], я звоню в свою квартиру по домофону, набирая номер квартиры на панели с кнопками-цифрами, прикреплённой к двери.
В моём доме 60 квартир и 5 подъездов.
В каждом подъезде одинаковое число квартир.
Мой подъезд - последний [там находятся квартиры с самыми большими номерами, вплоть до 60-й].
Чтобы попасть домой, я набираю на домофоне две одинаковые цифры.

Вопрос.
В какой квартире я живу?

 Отправлено: 12.08.07 13:46. Заголовок: Re:

55

 Отправлено: 12.08.07 13:48. Заголовок: Re:

Ну, Лаида, верно?

 Отправлено: 12.08.07 13:50. Заголовок: Re:

Ты и сам знаешь, я тебе и задачу рассказывала, и просто так номер квартиры говорила

 Отправлено: 12.08.07 13:51. Заголовок: Re:

Конечно верно я за ответ 55 рублей заплатил Шучу
100

 Отправлено: 12.08.07 13:52. Заголовок: Re:

Кому платил?

 Отправлено: 12.08.07 13:53. Заголовок: Re:

Ах вы сговорились что0ли

 Отправлено: 12.08.07 13:53. Заголовок: Re:

Ферзеход пишет:

цитата:

Кому платил?

Себе так сразу приятно стало...

 Отправлено: 12.08.07 13:54. Заголовок: Re:

Не по теме И чё это?

 Отправлено: 12.08.07 13:56. Заголовок: Re:

Что, что... вознаградил себя человек за решение задачи! Сам себе вот заплатил

 Отправлено: 12.08.07 13:57. Заголовок: Re:

А суть самому себе платить?

 Отправлено: 12.08.07 13:58. Заголовок: Re:

Ферзеход пишет:

цитата:

А суть самому себе платить?

Посмотри свою подпись!

А вообще, тема для задач, а не для флуда
Так что лучше задачи выдумывайте новые, и пишите сюда, а не флудите!
А ответ, конечно, правильный... задача очень простая ведь

 Отправлено: 12.08.07 14:01. Заголовок: Re:

Кому простая, а кому не очень... Но не мне

 Отправлено: 21.08.07 11:57. Заголовок: Re:

Ещё несколько примерчиков недавно смастерила по тригонометрии:

cos⁴x + cos²x - 6sinx + 6 = 0;
sin2x + 2 = (корень из 2) умножить на (sinx + cosx);

cos⁴x - 16 = 0;
tg⁴x - 16 = 0.

 Отправлено: 21.08.07 12:14. Заголовок: Re:

Не "игрЕками", а "игрИками"
Называется "жилеса"

 Отправлено: 21.08.07 12:15. Заголовок: Re:

Что за "жилеса"?

 Отправлено: 21.08.07 12:16. Заголовок: Re:

Железо!

 Отправлено: 21.08.07 12:17. Заголовок: Re:

И правильно всё же "игрек" - посмотри в словаре Яндекса.

 Отправлено: 21.08.07 12:21. Заголовок: Re:

Слово не из русского языка, поэтому под него не бывает правильности русского языка, а просто частое использование одного слова. То есть если слово pixel, то можно говорить и "пиксель", и "пиксел", но чаще всего говорят "пиксель".

 Отправлено: 21.08.07 12:24. Заголовок: Re:

Ну, значит, годится и так, и так...

 Отправлено: 21.08.07 12:26. Заголовок: Re:

Хотя официально в словарях правильно с "е", но как-то не звучит, по-моему...

 Отправлено: 21.08.07 14:12. Заголовок: Re:

Шото както не цепляет... :)
Может, ну её, эту математику?

[Дико извиняюсь, но я случайно удалила содержание поста ЧеБуратино и остатки поста восстановила по памяти - ДвЧ ]

 Отправлено: 21.08.07 15:14. Заголовок: Re:

Если я не разбираюсь в конкретной шахматной позиции, то не буду же я бросать шахматы

 Отправлено: 22.08.07 00:59. Заголовок: Re:

цитата:

Шото както не цепляет... :)

Скучные примеры?
Даже cos⁴x - 16 = 0 не нравится? Я специально придумала этот пример, чтобы он был с подвохом
Про тангенс я придумала, чтобы пример про косинус сильно не выделялся из остальных рядом с похожим, но решаемым примером про тангенс, а остальные придумала, переделав под тригонометрические функции алгебраические примеры из книжки по алгебре.

 Отправлено: 22.08.07 05:33. Заголовок: Re:

Даже математику твои примеры кажутся скучными

 Отправлено: 22.08.07 09:43. Заголовок: Re:

[Дико извиняюсь, но я случайно удалила содержание поста ЧеБуратино и остатки поста восстановила по памяти - ДвЧ ]`
Очень даже неплохо восстановила. Все верно, только вначале цитата еще была...

---

cos⁴x - 16 = 0;
cos⁴x = 16;
cos²x = 4; cos²x = -4 (не катит);
cosx = 2; cosx = -2
x = arccos 2 (снова не катит)
x = arccos -2 (блин - опять не катит)
Ответ: нет решений.

 Отправлено: 22.08.07 12:05. Заголовок: Re:

А у меня есть сохранённая страница его поста

 Отправлено: 03.10.07 16:52. Заголовок: Re:

cos⁴x - 16 = 0;

Сначала ответил, потом заметил вторую страницу и дочитал до конца Но решил оставить...

Можно и так: -1 <= cos x <=1 , поэтому в любой степени число по модулю будет меньше или равно единице.

 Отправлено: 04.10.07 15:50. Заголовок: Re:

А если предположить, что x в последнем уравнении комплексно?

 Отправлено: 04.10.07 23:27. Заголовок: Re:

Интересно-интересно... разве cos x может быть от комплексного аргумента?

 Отправлено: 05.10.07 00:31. Заголовок: Re:

Девушка в чёрном пишет:

цитата:

Интересно-интересно... разве cos x может быть от комплексного аргумента?

Да, может. Существует даже специальный раздел математики - ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

Кратко: функции комплексной переменной вводятся через степенные ряды, соотвествующие этим фунциям, а именно:

Степенной ряд для действительной экспоненты есть

e^x = 1 + x + x²/2! + ... + xⁿ/n! + ... ;

на основании записанного, комплексную экспоненту можно определить как

e^z = 1 + z + z²/2! + ... + zⁿ/n! + ... , где здесь, и всюду далее z - комплексное.

Точно так же синус и косинус:
степенные ряды действительного синуса и косинуса есть

sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! + ... + (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! + ... ,
cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! + ... + (-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! + ... ,

соответствующие комплекснозначные функции можно определить как

sin(z) = z - z³/3! + z⁵/5! + ... + (-1)ⁿz²ⁿ⁺¹/(2n+1)! + ... ,
cos(z) = 1 - z²/2! + z⁴/4! + ... + (-1)ⁿz²ⁿ/(2n)! + ...

Как и в случае с соотв. действительными рядами, эти ряды также всюду сходятся, следовательно справедливы при любых комплексных z.

Существует связь между экспонентой с синусом и косинусом (формула Эйлера):

e^iz = cos(z) + i sin(z).

Возможно Вы уже встречались с этой формулой... или с её частным случаем (например, при записи экспоненциальной формы записи комплексного числа) :
e^ix = cos(x) + i sin(x), где x - действительное.

Из формулы Эйлера при z=PI вытекает очень красивое соотношение

e^{i PI}+1=0, связывающее 5 важнейших математических чисел: 0, 1, i, PI, e.

В справедливости ф. Э. можно удостоверится подстановкой в неё соотв. рядов.

Также можно записать выражения для синуса и косинуса через экспоненту:

cos(z) = (e^iz + e^-iz)/2,
sin(z) = (e^iz - e^-iz)/2i.

 Отправлено: 05.10.07 00:39. Заголовок: Re:

На основании всего этого, к примеру, уравнение sin(z)=2 будет иметь бесконечное множество комплексных решений...

 Отправлено: 05.10.07 08:44. Заголовок: Re:

Если предположить, что комплексно, тогда:

cos(z) = cos x ch y - i(sin x sh y)
где z = x + iy

Учитывая, что arch z = ln (z + sqrt(z²-1))
для cos(z) = 2 к примеру получаем z=i ln (2+ sqrt(3)) и т.д.

Здесь sqrt() - корень квадратный

 Отправлено: 05.10.07 15:03. Заголовок: Re:

Чем больше живу, тем больше убеждаюсь - сколько ещё есть на свете вещей, которых я не знаю и даже не подозреваю об их существовании...
Вот уже и тригонометрические функции от комплексных аргументов придумали, оказывается!

 Отправлено: 05.10.07 15:52. Заголовок: Re:

Чесслово - это не мы с МЕНТом придумали, это нам в университетах что попало наговорили При помощи соответствующих разделов математики из любой школьной задачи можно тако-ое сделать

МЕНТу - а с кватернионами будет еще веселее...

 Отправлено: 05.10.07 16:30. Заголовок: Re:

Михаил пишет:

цитата:

Если предположить, что комплексно, тогда: cos(z) = cos x ch y - i(sin x sh y) где z = x + iy Учитывая, что arch z = ln (z + sqrt(z2-1)) для cos(z) = 2 к примеру получаем z=i ln (2+ sqrt(3)) и т.д. Здесь sqrt() - корень квадратный

Верно, но z=i ln (2+ sqrt(3)) это лишь один из множества возможных корней.
Вообщем, исходное уравнение cos⁴(z) - 16 = 0 можно переписать в виде

(cos(z) - 2)(cos(z) + 2)(cos(z) - 2i)(cos(z) + 2i) = 0, следовательно исходное уравнение разбивается на четыре уравнения:

cos(z) = 2,
cos(z) =-2,
cos(z) = 2i,
cos(z) =-2i.

Решим, например, первое уравнение. Как Михаил уже указал выше, полагая z=x+iy косинус представляется в виде
cos(z) = cos(x)ch(y) - i sin(x)sh(y), откуда
cos(x)ch(y) - i sin(x)sh(y) = 2.

На основании равенства комплексных чисел получаем систему

cos(x)ch(y) = 2,
sin(x)sh(y) = 0.

Второе из уравнений системы в свою очередь разбивается на два: sin(x)=0 или sh(y) = 0.
Из sh(y)=0 получаем y=0 и подставляя в первое уравнение системы получаем cos(x)ch(0) = cos(x) = 2, и т.к. x - действительное, то решений нет.

При sin(x)=0 получаем x=PI k, где k - целое. Подставляя в первое ур. системы будем иметь

cos(PI k)ch(y) = 2,
(-1)^k ch(y) = 2 или ch(y) = 2(-1)^k

Гиперболический косинус есть ch(y) = (e^y + e^-y)/2. Делая замену t=e^y и подставляя всё это в последнее уравнение получаем

(t + t^-1)/2 = 2(-1)^k,
t² - 4(-1)^kt + 1 = 0

Решая полученное квадратное уравнение будем иметь
t₁ = 2(-1)^k + sqrt(3),
t₂ = 2(-1)^k - sqrt(3).

k должно быть выбрано так, чтобы t было положительным; это имеет место только при чётных k, т.е. k=2n, n - целое и следовательно
t₁ = 2 + sqrt(3),
t₂ = 2 - sqrt(3).

Переходя от t к y получим

y = ln(2 + sqrt(3)) или y = ln(2 - sqrt(3)).

Теперь можно записать окончательный ответ

z = 2PI n + i ln(2 + sqrt(3)),
z = 2PI n + i ln(2 - sqrt(3)),
где n - целое.


Михаил пишет:

цитата:

МЕНТу - а с кватернионами будет еще веселее...

Вы полагаете? Что ж, возможно... хотя я никогда не слышал о функциях от кватерниона...

 Отправлено: 05.10.07 16:53. Заголовок: Re:

Вот и добрались до истины Безусловно, я лишь часть задачи решил и о периоде вскольз упомянул...
Интересно, что бы за все это в школе поставили ?

Относительно функций от кватернионов - принцип тот же, только преобразования на порядок сложней... Ограничений больше... Да и применений реальных крайне мало, если вообще они есть. Насколько понимаю, Ваше решение будет одним из частных случаев, при нулевых членах остальных ортов. Но даже не берусь продемонстрировать его полностью, все равно странице на пятой плюс с минусом где-нибудь перепутаю

 Отправлено: 10.10.07 16:24. Заголовок: Re:

Что-то все затихли...

Задача, которую я придумал по дороге на работу, глядя из окна автомобиля на вывески с курсом доллара

Внешний долг США составляет около 9 трлн. долларов. Размер одного доллара приблизительно (66 x 156) мм.

Какую площадь будет покрывать эквивалентная сумма? Как она соотносится с площадью Сахалина (76,4 тыс. кв. км) и Курильских островов (10,7 тыс. кв. км.)? Вариант для жителей столицы: в сколько слоев можно уложить банкноты в пределах МКАД (около 900 кв. км).

Сколько из них в верхнем слое лягут вверх надписями "новый порядок навеки" и "кредитуем бога", если считать расположение равновероятным?

Какое количество помещений длиной 1,5 метра, шириной 1 метр и высотой 2 метра можно оклеить этой бумагой, если отделывать только стены?

 Отправлено: 10.10.07 23:19. Заголовок: Re:

А притихли всё потому, что на форуме всего несколько участников.