Форум Ферзехода

Точная формулировка
Правило говорит, что если функции Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f(x)

и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): g(x)
обладают следующим набором условий:
Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \lim_{x\to a+}{f(x)}=\lim_{x\to a+}{g(x)}=0
или Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \infty
Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \exists \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}
Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): g(x)\neq 0
в некоторой окрестности точки Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a
, тогда существует Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim_{x\to a+}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).

История
Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован маркизом Г. Ф. де Лопиталем (Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital) в его сочинении «Анализ бесконечно малых» («Analyse des infiniment petits»), изданном в 1696 году. Однако после смерти де Лопиталя Иоганн Бернулли опубликовал работу «Усовершенствование моего опубликованнного в „Analyse des infiniment petits“ §163 метода для определения значения дроби, числитель и знаменатель которой иногда исчезают», 1704), в которой предъявил претензии на авторство, хотя и не обвинял покойного в явном плагиате.

Доказательство
1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \left(\frac{0}{0}\right) ).

Поскольку мы рассматриваем функции Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f

и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): g
только в правой проколотой полуокрестности точки Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a
, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f(a)=g(a)=0 . Возьмём некоторый Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x

из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): [a,\;x]
теорему Коши. По этой теореме получим:
Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \exists c \in [a,x]\!:\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}
,

но Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f(a)=g(a)=0 , поэтому Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall x\, \exists c \in [a,\;x]\!:\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A , из полученного равенства выводим:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall \varepsilon>0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<\varepsilon)
для конечного предела и
Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall M > 0\, \exists \delta>0\, \forall x(x-a<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > M)
для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.

2. Докажем теорему для неопределённостей вида Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \left(\frac{\infty}{\infty}\right) .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A . Тогда, при стремлении Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x

к Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a
справа, это отношение можно записать как Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A+\alpha
, где Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \alpha

— O(1). Запишем это условие:
Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall\varepsilon_{1}\, \exists \delta_{1}\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow \alpha(x)<\varepsilon_{1})
.

Зафиксируем Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): t

из отрезка Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): [a,\;a+\delta_1]
и применим теорему Коши ко всем Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x
из отрезка Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): [a,\;t]
Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall x\in [a;t]\ \exists c\in [a;\;x]\!:\frac{f(x)-f(t)}{g(x)-g(t)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}
, что можно привести к следующему виду:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1-\frac{g(t)}{g(x)}}{1-\frac{f(t)}{f(x)}}\cdot\frac{f'(c)}{g'(c)}
.

Для Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x , достаточно близких к Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f(t)

и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): g(t)
— константы, а Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): f(x)
и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): g(x)
стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): 1+\beta
, где Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \beta

— бесконечно малая функция при стремлении Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x
к Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a
справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \varepsilon
, что и в определении для Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \alpha

Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall \varepsilon_{1}\, \exists \delta_{2}\, \forall x(x-a<\delta_{2}\Rightarrow \beta(x)<\varepsilon_{1})
.

Получили, что отношение функций представимо в виде Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): (1+\beta)(A+\alpha) , и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \left|\frac{f(x)}{g(x)}-A\right|<|A|\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{1}^{2} . По любому данному Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \varepsilon

можно найти такое Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \varepsilon_{1}
, чтобы модуль разности отношения функций и Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A

был меньше Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \varepsilon
, значит, предел отношения функций действительно равен Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A .

Если же предел Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): A

бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \forall M>0\, \exists \delta_{1}>0\, \forall x(x-a<\delta_{1}\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}>2M)
.

В определении Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \beta

будем брать Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \varepsilon_{1} < \frac{1}{2}
первый множитель правой части будет больше 1/2 при Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): x
, достаточно близких к Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a , а тогда Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \frac{f(x)}{g(x)}>\frac{1}{2}\cdot 2M=M\Rightarrow \lim_{x\to a+}{\frac{f(x)}{g(x)}}=+\infty .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры
Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{x^{a}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a!}}=+\infty
Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): \lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{a}}{\ln{x}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{ax^{a-1}}{\frac{1}{x}}}=a\cdot\lim_{x\to+\infty}{x^{a}}=+\infty
при Невозможно разобрать выражение (неизвестная ошибка): a>0